复变函数与积分变换

前言
第1章复数与复变函数1
1.1复数及其运算1
1.1.1复数的概念1
1.1.2复数的四则运算2
1.1.3共轭复数2
1.2复数的几何表示3
1.2.1复平面3
1.2.2复数的模与辐角3
1.2.3复数的三角表示与指数表示5
1.2.4复球面5
1.3复数的乘积与商乘幂与方根7
1.3.1复数的乘积与商7
1.3.2复数的乘幂与方根8
1.4复平面上的点集11
1.4.1点集的概念11
1.4.2区域12
1.4.3曲线12
1.4.4单连通区域与多连通区域13
1.5复变函数13
1.5.1复变函数的概念13
1.5.2映射的概念15
1.6复变函数的极限与连续16
1.6.1复变函数的极限16
1.6.2复变函数的连续19
第1章小结20
第1章习题22
第2章复变函数解析性24
2.1复变函数导数24
2.1.1复变函数导数的概念24
2.1.2求导运算法则25
2.1.3微分的概念26
2.1.4函数可导的充要条件26
2.2解析函数29
2.2.1解析函数的概念29
2.2.2函数解析的充要条件30
2.3调和函数32
2.3.1调和函数的概念32
2.3.2解析函数与调和函数的关系33
2.3.3共轭调和函数的概念33
2.3.4已知实部或虚部的解析函数的表达式33
2.4初等函数36
2.4.1指数函数36
2.4.2对数函数37
2.4.3幂函数39
2.4.4三角函数与反三角函数40
2.4.5双曲函数与反双曲函数42
第2章小结43
第2章习题45
第3章复变函数积分48
3.1复变函数积分的概念48
3.1.1复变函数积分的定义48
3.1.2复变函数积分存在的条件及其计算49
3.1.3复变函数积分的基本性质51
3.2基本定理及其推广52
3.2.1基本定理52
3.2.2基本定理的推广53
3.2.3原函数55
3.3柯西积分公式和高阶导数公式56
3.3.1柯西积分公式56
3.3.2解析函数的高阶导数58
第3章小结61
第3章习题63
第4章级数65
4.1复数项级数与幂级数65
4.1.1复数列的收敛性65
4.1.2复数项级数66
4.1.3幂级数68
4.2泰勒级数71
4.3洛朗级数74
4.3.1洛朗级数的概念74
4.3.2解析函数的洛朗展开式76
第4章小结79
第4章习题82
第5章留数84
5.1孤立奇点84
5.1.1孤立奇点的分类84
5.1.2孤立奇点的性质85
5.1.3零点与极点的关系87
5.1.4解析函数在无穷远点的性质88
5.2留数89
5.2.1留数的定义89
5.2.2留数的计算规则89
5.2.3无穷远点的留数91
5.3留数在定积分计算上的应用93
5.3.1形如∫2π0R(cos θ,sin θ)dθ的积分93
5.3.2形如∫+∞-∞R(x)dx的积分94
5.3.3形如∫+∞-∞R(x)eaixdxa>0,R(x)=P(x)Q(x)的积分95
5.4辐角原理及其应用96
5.4.1对数原理96
5.4.2辐角原理97
5.4.3儒歇定理98
第5章小结99
第5章习题103
*第6章共形映射105
6.1解析变换的特征105
6.1.1解析变换的性质105
6.1.2保角变换与共形映射108
6.2分式线性变换109
6.2.1分式线性变换的定义109
6.2.2分式线性变换的映射性质110
6.2.3分式线性变换的应用114
6.3几个初等函数构成的共形映射116
6.3.1幂函数w=zn(n≥2为整数)116
6.3.2指数函数w=ez117
6.4黎曼定理及其简单应用118
6.4.1大模原理118
6.4.2施瓦茨引理119
6.4.3黎曼定理120
第6章小结123
第6章习题125
第7章傅里叶变换127
7.1傅里叶变换的概念127
7.1.1傅里叶级数127
7.1.2傅里叶积分129
7.1.3傅里叶变换130
7.2傅里叶变换的性质132
7.2.1基本性质132
7.2.2卷积与卷积定理135
7.3傅里叶变换的应用137
7.3.1单位脉冲函数(δ函数)的概念及其性质137
7.3.2δ函数的傅里叶变换138
第7章小结139
第7章习题141
第8章拉普拉斯变换143
8.1拉普拉斯变换的概念143
8.1.1拉普拉斯变换的定义143
8.1.2拉普拉斯变换的存在定理145
8.2拉普拉斯变换的性质146
8.2.1基本性质146
8.2.2卷积定理150
8.3拉普拉斯逆变换152
8.3.1拉普拉斯反演积分公式152
8.3.2拉普拉斯逆变换定理153
8.4拉普拉斯变换的应用155
8.4.1求解常微分方程155
8.4.2综合应用举例156
第8章小结158
第8章习题160
附录162
附录A傅里叶变换简表162
附录B拉普拉斯变换简表164
习题参考答案169
参考文献177